Circular S-10.4.1, mediante la cual se dan a conocer las bases técnicas que deberán utilizar las Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros para calcular la pérdida máxima probable de los seguros de terremoto y/o erupción volcánica.

Al margen un sello con el Escudo Nacional, que dice: Estados Unidos Mexicanos.- Secretaría de Hacienda y Crédito Público.- Comisión Nacional de Seguros y Fianzas.

Asunto: Seguro de terremoto y/o erupción volcánica.- Se dan a conocer las bases técnicas que se deberán utilizar para el cálculo de la Pérdida Máxima Probable.

A las Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros

Para efectos de lo dispuesto en la novena de las Reglas para la Constitución e Incremento de las Reservas Técnicas Especiales de las Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros publicadas en el Diario Oficial de la Federación el 31 de diciembre de 1999, así como Décima Octava de las Reglas para el Capital Mínimo de Garantía de las Instituciones de Seguros publicadas en el mismo Diario Oficial el 30 del mismo mes y año, esta Comisión ha tenido a bien expedir las siguientes disposiciones, a efecto de dar a conocer las Bases Técnicas que se deberán utilizar para calcular la Pérdida Máxima Probable de los Seguros de Terremoto.

PRIMERA.- Las Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros, deberán calcular la Pérdida Máxima Probable correspondiente a la cartera de pólizas en vigor del Seguro de Terremoto, conforme a las presentes Bases Técnicas y procedimientos.

Evaluación de peligro sísmico

El peligro sísmico se cuantifica en términos de los periodos de retorno (o sus inversos, las tasas de excedencia) de intensidades sísmicas relevantes en el comportamiento de las estructuras. La tasa de excedencia de una intensidad sísmica se define como el número medio de veces, por unidad de tiempo, en que el valor de esa intensidad sísmica es excedido.

No es imposible determinar el peligro sísmico contando las veces en que se han excedido valores dados de intensidad en el sitio de interés. Sin embargo, la determinación directa rara vez se puede hacer porque no se dispone de catálogos completos de las aceleraciones que han producido en un sitio los sismos pasados. Por lo anterior, resulta necesario calcular el peligro sísmico de manera indirecta. Para ello, se evalúa primero la tasa de actividad sísmica en las fuentes generadoras de temblores, y después se integran los efectos que producen, en un sitio dado, los sismos que se generan en la totalidad de las fuentes. Se describe a continuación, la manera de hacer la evaluación del peligro sísmico.

1.1 Tectónica de México y las principales familias de sismos

Los grandes temblores en México (Ms 7.0) a lo largo de la costa del Pacífico, son causados por la subducción de las placas oceánicas de Cocos y de Rivera bajo la placa de Norteamérica y por ello son conocidos como sismos de subducción. La placa de Rivera, que es relativamente pequeña, se desplaza bajo el Estado de Jalisco con velocidad relativa de 2.5 cm/año frente a la costa de Manzanillo. Algunos trabajos recientes sugieren que esta velocidad podría alcanzar 5 cm/año (Kostoglodov y Bandy, 1994). La frontera entre las placas de Rivera y de Norteamérica es algo incierta, pero se estima que intersecta la costa de México cerca de Manzanillo (19.1°N, 104.3°W). Por otra parte, la velocidad relativa de la placa de Cocos con respecto al continente varía desde unos 5 cm/año cerca de Manzanillo hasta 7 cm/año en Chiapas. El terremoto de Jalisco del 3 de junio de 1932 (Ms 8.2) que ocurrió sobre la interfaz de la placa de Rivera y la de Norteamérica (Singh et al., 1985a), muestra que una placa pequeña, joven y con una velocidad relativamente baja de subducción es capaz de generar grandes temblores. Este terremoto es el más grande que ha ocurrido en México en el presente siglo. En la Figura 1 se muestran las zonas en donde se generan estos sismos.

Figura 1. Zonas generadoras de sismos de subducción

Los grandes temblores también ocurren en el continente con profundidades de unos 60 km. En este caso los temblores presentan un mecanismo de fallamiento normal que refleja el rompimiento de la litosfera oceánica subducida (Singh et al., 1985b). Si bien este tipo de eventos es poco frecuente, se sabe que pueden causar grandes daños. Algunos ejemplos de estos sismos son el de Oaxaca del 15 de enero de 1931 (Ms 7.8), el de Orizaba del 23 de agosto de 1973 (Ms 7.3) y el de Huajuapan de León del 24 de octubre de 1980 (mB 7.0). En la figura 2 se muestran las zonas consideradas para la ocurrencia de este tipo de sismos.

Figura 2. Zonas generadoras de sismos profundos

Aún menos frecuentes son los temblores que ocurren dentro de la placa continental (Ms 7). Dependiendo de su ubicación, tales eventos pueden generar daños considerables en los asentamientos humanos. Dos ejemplos son: el temblor de Jalapa del 3 de enero de 1920 (Ms 6.4) y el de Acambay del 19 de noviembre de 1912 (Ms 7.0). En la figura 3 se indican las zonas en donde ocurren este tipo de sismos.

Existe también lo que podría llamarse sismicidad de fondo, consistente en temblores con M 5.5, cuyo origen no puede asociarse a ninguna estructura geológica en particular. La ocurrencia de estos eventos también se considera, y las zonas donde se generan se muestran en la misma figura 3.

Figura 3. Zonas generadoras de sismos superficiales

En México, el Eje Neovolcánico no es paralelo a la trinchera. Esto es algo anormal en comparación con otras zonas de subducción en el mundo y es muy probable que se deba a la morfología de la placa de Cocos. Gracias a los esfuerzos de varios investigadores ha habido un avance significativo en el conocimiento de la morfología de la placa subducida bajo el continente (Singh et al., 1985b; Suárez et al., 1990; Ponce et al., 1992; Singh y Pardo, 1993; Pardo y Suárez, 1993, 1994). Los resultados indican una subducción con un ángulo de 45° en Jalisco, casi horizontal en Guerrero, con un ángulo de 12° en Oaxaca y de 45° en Chiapas. El contorno de los 80 a 120 km de profundidad de la zona de Benioff aproximadamente coincide con la línea de los volcanes. Existe una evidencia, aunque no definitiva, que la placa continental entre la costa grande de Guerrero y el Valle de México está en un estado de esfuerzo tensional, contrariamente a lo esperado (Singh y Pardo, 1993).

1.2 Modelos de la sismicidad local

Para los fines de estas bases técnicas, la República Mexicana se ha dividido en 476 fuentes generadoras de sismos. Estas fuentes están dictadas por la tectónica del país y por la historia instrumental de sismos registrados en el pasado (Zúñiga, 1993). Cada una de estas fuentes genera temblores a una tasa constante.

La actividad de la i-ésima fuente sísmica se especifica en términos de la tasa de excedencia de las magnitudes, li(M), que ahí se generan. La tasa de excedencia de magnitudes mide qué tan frecuentemente se generan en una fuente temblores con magnitud superior a una dada.

Para la mayor parte de las fuentes sísmicas, la función l i(M) es una versión modificada de la relación de Gutenberg y Richter. En estos casos, la sismicidad queda descrita de la siguiente manera:

(1)

donde M0 es la mínima magnitud relevante, tomada igual a 4.5 en este estudio. l0i, bi, y Mui son parámetros que definen la tasa de excedencia de cada una de las fuentes sísmicas. Estos parámetros, diferentes para cada fuente, se estiman por procedimientos estadísticos bayesianos (Rosenblueth y Ordaz, 1989; Ordaz y Arboleda, 1995), que incluyen información sobre regiones tectónicamente similares a las de nuestro país, más información experta, especialmente sobre el valor de Mui, la máxima magnitud que puede generarse en cada fuente. En la figura 4 se muestran dos tasas de excedencia para zonas sísmicas distintas, una para una zona de alta sismicidad capaz de generar sismos con M > 8 y otra de baja sismicidad. Es claro que para una misma tasa de excedencia o tasa constante, ambas fuentes generarán sismos con distinta magnitud; por ejemplo, si tomamos una tasa de 0.01 (periodo de retorno de 100 años), debemos esperar sismos mayores o iguales que 6.2 en la fuente de baja sismicidad, y mayores o iguales que 7.25 en la de alta sismicidad. Esto quiere decir que con la misma probabilidad o para la misma tasa de excedencia ambas fuentes generarán sismos de distinto tamaño.

Aunque la forma funcional para l i(M) dada en la ec. (1) se utiliza para la mayor parte de las fuentes sísmicas, se ha observado que la distribución de magnitudes de los grandes temblores de subducción (M > 7) se aparta sensiblemente de la predicha por la relación de Gutenberg y Richter, dando origen al llamado temblor característico (Singh et al., 1981). Por lo anterior, para los grandes temblores de subducción, li(M) se define de la siguiente manera:

(2)

Figura 4. Tasas de excedencia de magnitudes, li(M), para dos fuentes con distinta sismicidad

donde ?(7), EM y ?M son parámetros que se deben obtener estadísticamente para la zona mexicana de subducción, y ? es la función de distribución normal estándar. De esta manera, al definir los parámetros ?0,b y Mu o ?(7), EM y ?M, queda definida por completo la sismicidad local de las fuentes. Los archivos conteniendo los parámetros de sismicidad usados en estas bases técnicas se encuentran disponibles, en formato electrónico, a solicitud de las compañías interesadas.

1.3 Atenuación de las ondas sísmicas

Una vez determinada la tasa de actividad de cada una de las fuentes sísmicas, es necesario evaluar los efectos que, en términos de intensidad sísmica, produce cada una de ellas en un sitio de interés. Para ello se requiere saber qué intensidad se presentaría en el sitio en cuestión, hasta ahora supuesto en terreno firme, si en la i-ésima fuente ocurriera un temblor con magnitud dada. A las expresiones que relacionan magnitud, posición relativa fuente-sitio e intensidad se les conoce como leyes de atenuación. Usualmente, la posición relativa fuente-sitio se especifica mediante la distancia focal, es decir, la distancia entre el foco sísmico y el sitio. Las leyes de atenuación pueden adoptar muy diversas formas. En este estudio se utilizan diversas leyes de atenuación dependiendo del tipo de sismo.

Como se verá más adelante, se considera que las intensidades sísmicas relevantes son las ordenadas del espectro de respuesta Sa (seudoaceleraciones, 5% del amortiguamiento crítico), cantidades que son aproximadamente proporcionales a las fuerzas laterales de inercia que se generan en las estructuras durante sismos y que dependen de una propiedad dinámica de la estructura sobre la que se hablará más adelante: el periodo natural de vibrar.

Dadas la magnitud y la distancia epicentral, la intensidad sísmica no está exenta de incertidumbre por lo que no puede considerarse determinista. Suele suponerse que, dadas la magnitud y la distancia, la intensidad Sa es una variable aleatoria distribuida lognormalmente con mediana dada por la ley de atenuación y desviación típica del logaritmo natural igual a lnSa.

Para efectos de las presentes bases técnicas se pueden utilizar cuatro leyes de atenuación diferentes dependiendo de las trayectorias que recorren las ondas en su camino de la fuente al sitio. Se utilizan leyes de atenuación espectrales que toman en cuenta el hecho de que la atenuación es diferente para ondas de diferentes frecuencias, por lo que se tienen parámetros de atenuación diferentes para cada periodo de vibración considerado. Estas leyes se describen a continuación.

A manera de ejemplo, en la figura 5 se muestran dos grupos de curvas de atenuación para periodos estructurales de 0.005 y 3 segundos. Las gráficas superiores corresponden a sismos de mayor magnitud que las gráficas inferiores. En cada gráfica se aprecia el efecto de la magnitud del sismo y es claro que sismos pequeños son poco eficientes para generar ondas de periodo largo.

Figura 5. Atenuación de la amplitud espectral para dos periodos estructurales y para diez magnitudes. La curva superior corresponde a M=8.5, mientras que la inferior corresponde a M=4.

Los archivos magnéticos que contienen las leyes de atenuación usadas en estas bases técnicas se encuentran disponible, a solicitud de las compañías interesadas.

1.4 Efectos de la geología local

El efecto del tipo de suelo sobre la amplitud y la naturaleza de las ondas sísmicas ha sido reconocido desde hace mucho tiempo como crucial en la estimación del peligro sísmico. Esto es particularmente importante en la Ciudad de México, donde las amplificaciones por geología local son notables. Por ello, dedicaremos un punto especial para describir el modelo de amplificación de la Ciudad de México, y posteriormente lo haremos para sitios fuera de la ciudad.

1.4.1 Efectos de sitio en la Ciudad de México

Como se ha mencionado, el movimiento del terreno se estima en términos de las ordenadas del espectro de respuesta de seudoaceleraciones. En el modelo, un sismo se define por su magnitud y distancia focal a la Ciudad de México. Dadas una magnitud y una distancia, es posible estimar el espectro de respuesta de aceleraciones (ER) en CU (Ciudad Universitaria) por medio de regresiones semiempíricas (Reyes, 1997). Las regresiones se construyen usando una técnica estadística bayesiana y los datos de más 20 eventos costeros que han ocurrido desde los años 60. Se supone que el movimiento en el sitio de referencia es una medida de la excitación sísmica en los sitios de suelo blando de la Ciudad de México.

Figura 6. Cocientes de espectros de respuesta para tres sitios de la zona de lago de la Ciudad de México durante dos sismos: el del 19 de septiembre de 1985 (línea continua) y el del 25 de abril de 1989 (línea punteada).

La Ciudad de México cuenta con alrededor de 100 sitios dotados de instrumentos de registro de movimiento fuerte o acelerómetros. Para caracterizar la respuesta en sitios instrumentados de la Ciudad de México se utilizan cocientes de espectros de respuesta promedio (CER), los cuales se interpretan como funciones de transferencia entre cada sitio instrumentado y el sitio de referencia. Los cocientes espectrales se pueden calcular analizando registros obtenidos por la RACM durante sismos previos. Aunque estos cocientes no tienen un significado físico, se han utilizado con éxito para reproducir los espectros de respuesta de sitios en zona de lago a partir de espectros de respuesta en sitios en terreno firme. En la Figura 6 se muestra, a manera de ejemplo, los CER para tres sitios (Central de Abastos, cd, Secretaría de Comunicaciones y Transportes, sc, y Viveros de Coyoacán, vi) obtenidos durante dos sismos: el 19 de septiembre de 1985, con línea continua, y el 25 de abril de 1989, con línea punteada.

Los sismos utilizados para los cocientes abarcan muchas magnitudes y distancias focales, lo que permite tomar en cuenta directamente los efectos en la amplificación del movimiento debidos a estos factores. En la figura 7 se muestra la localización, magnitud y fecha de los sismos que se han utilizado para estudiar la amplificación en el Valle de México.

Los cocientes sólo pueden estimarse para los sitios de suelo blando instrumentado en que se hayan obtenido registros sísmicos. Sin embargo, se necesita un CER en cada sitio para el que se requiera estimar las pérdidas; estos puntos, en general, no coinciden con los sitios instrumentados. Para obtener los cocientes en cualquier sitio de la ciudad es necesario desarrollar un procedimiento de interpolación con las siguientes bases: primero, las abscisas de la FTE (periodos) en puntos instrumentados se normalizan con respecto al periodo dominante del sitio. La información acerca de los periodos dominantes es obtenida usando técnicas de microtemblores, sondeos geotécnicos y registros de movimientos fuertes (Reinoso y Lermo, 1991). En la figura 8 se muestra un mapa de la ciudad con curvas de igual periodo. Posteriormente las FTE normalizadas se utilizan en una interpolación bidimensional para obtener las FTE normalizadas en sitios arbitrarios. Finalmente, las FTE interpoladas se renormalizan con respecto al periodo dominante apropiado.

Esta interpolación supone variaciones suaves en la velocidad promedio de las ondas S (o, alternativamente, profundidad de la capa dura), y es exacta para la respuesta unidimensional de un estrato. Sin embargo, los efectos bi o tridimensionales quedan incluidos en vista de que las FTE se obtuvieron de registros reales.

Figura 7. Localización, fecha y magnitud de sismos recientes empleados para obtener las características de amplificación de la zona de lago de la Ciudad de México.

Figura 8: Mapa de la Ciudad de México con curvas de igual periodo obtenidas con datos de sismos, de microtemblores y de propiedades del suelo.

1.4.2 Efectos de sitio en otras localizaciones

Para otros sitios de la República Mexicana en que las condiciones del suelo no han sido tan estudiadas como en la Ciudad de México, se estima el movimiento a partir de funciones de transferencia promedio obtenidas de movimientos sísmicos registrados en roca, suelos firmes y suelos blandos en diferentes partes del mundo. Para este propósito se toman en cuenta los estudios hechos por Miranda (1991 y 1993a). La función de trasferencia de roca a suelo firme está dada por:

(3)

y para suelos blandos por

(4)

en estas expresiones T es el periodo de la función de trasferencia, FT.

1.5 Cálculo de peligro sísmico

Una vez conocidas la sismicidad de las fuentes y los patrones de atenuación de las ondas generadas en cada una de ellas, incluyendo los efectos de la geología local, puede calcularse el peligro sísmico considerando la suma de los efectos de la totalidad de las fuentes sísmicas y la distancia entre cada fuente y el sitio donde se encuentra la estructura. El peligro u (Sa), expresado en términos de las tasas de excedencia de intensidades Sa, se calcula mediante la siguiente expresión:

(5)

donde la sumatoria abarca la totalidad de las fuentes sísmicas, N, y Pr(SA>Sa|M,Ri) es la probabilidad de que la intensidad exceda un cierto valor, dadas la magnitud del sismo, M, y la distancia entre la i-ésima fuente y el sitio, Ri. Las funciones i(M) son las tasas de actividad de las fuentes sísmicas, mismas que se describieron anteriormente. La integral se realiza desde M0 hasta Mui, lo que indica que se toma en cuenta, para cada fuente sísmica, la contribución de todas las magnitudes; esto es adecuado para el cálculo de la prima neta ya que interesa el daño que pueden provocar inclusive los sismos pequeños y medianos que se presentan más seguido que los sismos grandes.

Conviene hacer notar que la ecuación anterior sería exacta si las fuentes sísmicas fueran puntos. En realidad son volúmenes, por lo que los epicentros no sólo pueden ocurrir en los centros de las fuentes sino, con igual probabilidad, en cualquier punto dentro del volumen correspondiente.

En las bases técnicas se debe tomar en cuenta esta situación subdividiendo las fuentes sísmicas en triángulos, en cuyo centro de gravedad se considera concentrada la sismicidad del triángulo. La subdivisión se hace recursivamente hasta alcanzar un tamaño de triángulo suficientemente pequeño como para garantizar la precisión en la integración de la ecuación anterior.

En vista de que se supone que, dadas la magnitud y la distancia, la intensidad tiene distribución lognormal, la probabilidad Pr(SA>Sa|M,Ri) se calcula de la siguiente manera:

(6)

siendo ( ) la distribución normal estándar, E(lnSa|M,Ri) el valor medio del logaritmo de la intensidad (dado por la ley de atenuación correspondiente) y s lnSa su correspondiente desviación estándar.

El peligro sísmico se expresa, entonces, en términos de la tasa de excedencia de valores dados de intensidad sísmica. Como se ha indicado, en este trabajo la intensidad sísmica, Sa, se mide con las ordenadas del espectro de respuesta de seudoaceleraciones para 5 por ciento del amortiguamiento crítico y el periodo natural de la vibración de la edificación de interés, T.

En la figura 9 se presenta como ejemplo de tasa de excedencia de intensidad la curva de peligro sísmico para la ciudad de Guadalajara. Esta tasa de excedencia indica qué tan frecuentemente se exceden, en Guadalajara, intensidades sísmicas de cierto valor. En esa curva se obtiene, por ejemplo, para una intensidad Sa=100 cm/s2, un valor de n(Sa)=0.002/año. Esto quiere decir que esta intensidad se excederá, en promedio, 0.002 veces por año o, en otras palabras, una vez cada 1/0.002 años, cada 500 años. En la misma figura 9 se aprecia qué intensidades grandes tienen menores tasas de excedencia o mayores periodos de retorno.

Figura 9. Tasa de excedencia de aceleración máxima del suelo en Guadalajara.

2. Vulnerabilidad estructural

La vulnerabilidad de una estructura es la relación entre la intensidad del movimiento sísmico, en este caso la aceleración espectral, y el nivel de daño. El parámetro que se utiliza en el sistema para calcular el nivel de daño en una estructura es la distorsión máxima de entrepiso, la cual se define como la relación entre el desplazamiento relativo entre dos niveles dividido entre la altura de entrepiso. En lo que sigue se describe la manera de relacionar la intensidad sísmica con el daño bruto, , esto es, el daño en la estructura antes de la aplicación de deducible, límite de primer riesgo y coaseguro.

Existe un número importante de estudios que han concluido que este parámetro de respuesta estructural es el que tiene mejor correlación con el daño estructural y con el daño no estructural (Alonso et al., 1996; Bertero et al., 1991; Moehle, 1992 y 1996; Miranda, 1997; Priestley, 1997; Sozen, 1997). A diferencia de muchos otros métodos que se basan en estimar el nivel de daño a partir de la Intensidad de Mercalli Modificada que es una medida subjetiva del daño en una región, en este estudio se recomienda un parámetro que tiene una excelente correlación con el daño en estructuras producido por movimientos sísmicos.

2.1 Daño esperado dada la distorsión máxima de entrepiso

La distorsión máxima de entrepiso en una estructura, i, se estima a partir (Miranda, 1997) de la siguiente expresión:

(7)

donde:

El valor esperado del daño en una estructura dada la distorsión máxima de entrepiso, E(*|*i), es función, principalmente, de la intensidad sísmica (medida con la aceleración espectral, Sa), del sistema estructural, de la fecha de construcción y de otros parámetros estructurales. En las presentes bases técnicas E(*|*i) se debe calcular como:

(8)

donde

(9)

en esta ecuación y son parámetros de vulnerabilidad estructural que dependen del sistema estructural y de la fecha de construcción. Las ecuaciones (8) y (9) dan como resultado el valor esperado, E(*|*i), como se muestra en la figura 10. En ella puede verse claramente que cuanto mayor sea la distorsión de entrepiso, mayor será el daño esperado en la edificación, aunque esta relación no es lineal.

2.2 Densidad de probabilidad del daño

En las presentes bases técnicas se considera que las relaciones de vulnerabilidad no son deterministas, por lo que se supone que, dada una intensidad, el daño bruto es una variable aleatoria cuyo valor esperado (el valor medio) está dado por la ecuación anterior. La densidad de probabilidades del daño en la estructura se supone de tipo Beta y está dada por la siguiente ecuación:

Figura 10. Relación entre la distorsión inelástica de entrepiso y el valor esperado del daño en una estructura.

(10)

donde a y b son parámetros que pueden calcularse a partir de la media y el coeficiente de variación del daño, C( ), de la siguiente manera

(11)

(12)

C2(*) se calcula como

(13)

donde es la varianza de la pérdida.

Existe poca información para determinar la varianza (o el coeficiente de variación) del daño bruto. Se sabe, sin embargo, que cuando el valor esperado de la pérdida es nulo la dispersión también lo es. De igual forma, cuando el valor esperado de la pérdida es total, la dispersión es también nula. Para valores intermedios, es difícil precisar, con bases empíricas, cuánto vale la varianza de la pérdida.

Para fijar la variación de la varianza de la pérdida se han utilizado dos fuentes de información. Por una parte, las distribuciones de probabilidad asignadas en el estudio clásico del informe ATC-13 (ATC-13, 1985) permiten inferir valores aproximados para las varianzas condicionales. Por otro lado, se han llevado a cabo ejercicios de simulación suponiendo estructuras simples con propiedades aleatorias.

Con estos datos, se ha decidido fijar variaciones de la varianza que tienen la siguiente forma funcional:

(14)

donde

(15)

(16)

Vmax, D0 y r son parámetros que dependen del tipo estructural. Vmax es la varianza máxima, D0 es el nivel de daño para el que ocurre esta varianza máxima y r ha sido tomado igual a 3.

Una vez determinados E(b|gi) y s2(b|gi) queda completamente definida la distribución de probabilidades del daño bruto dado un valor de distorsión de entrepiso.

2.3 Daños en contenidos y por pérdidas consecuenciales

En las bases técnicas se debe considerar que los daños en contenidos y por pérdidas consecuenciales están completamente correlacionados con los daños en el inmueble. Para los contenidos se considera que el valor esperado del daño dada una intensidad es la mitad del que se presenta en el inmueble, mientras que la varianza es la que resulta de aplicar la ecuación 14. Por lo que respecta a pérdidas consecuenciales, se supone que tienen la misma densidad de probabilidad que los daños en el inmueble.

3. Evaluación de pérdidas por sismo para fines de seguros

En esta sección se describen los procedimientos para evaluar pérdidas, especialmente en los aspectos propios de la operación del seguro de terremoto. Se describen primero los criterios para hacer estimaciones en edificaciones individuales y, posteriormente, la manera en que se modelan las pérdidas en una cartera completa. Para ello es conveniente estimar las pérdidas sobre los valores retenidos por las compañías de seguros. Por ello, en lo sucesivo, toda referencia a montos se refiere precisamente a los retenidos.

3.1 Efecto de coaseguro, deducible y límite en una edificación individual

Lo descrito en el capítulo anterior es útil para calcular la pérdida bruta, b. Interesa, sin embargo, estimar la pérdida neta, bN, que es aquella que resulta de aplicar coaseguro, deducible y límite de primer riesgo. Para estimar la pérdida neta se consideran las variables C, D y L, el coaseguro, deducible y límite, respectivamente, expresados como una fracción del valor expuesto. La pérdida neta se define de la siguiente manera:

(17)

No se incluye explícitamente el efecto del coaseguro, puesto que se trata de una constante proporcional que afecta a la pérdida después de haber sido aplicado el deducible.

Procede entonces calcular E( N|?), ?2( N| ?) y la distribución de probabilidades de N| ?. Para ello, como se indicó, se asigna a la pérdida bruta una distribución de probabilidades Beta con parámetros a y b, cuyas relaciones con los momentos estadísticos de se han ya establecido. E( N| ?), ?2( N| ?) se obtienen integrando la ecuación anterior con respecto a esta densidad de probabilidades. En estas condiciones, la distribución de probabilidad de N| ? adopta la siguiente forma:

(18)

siendo Ba(x,a,b) la función Beta Acumulada (Abramowitz y Stegun, 1965). El valor esperado y la varianza de la pérdida neta resultan dados por las siguientes expresiones:

(19)

donde

(20)

(21)

(22)

Adicionalmente,

(23)

donde

(24)

(25)

(26)

(27)

para finalmente obtener

(28)

En la Figura 12 se presenta un ejemplo cuando E( N| ?)=0.2, ?2( N| ?)=0.0533, por lo que a=0.4 y b=1.6, con C=0, D=0.03 y L=0.75.

Figura 12. Ejemplo de distribución de probabilidad de b N, la pérdida neta.

En estas bases técnicas se contempla la posibilidad de que los deducibles, límites y coaseguros de edificio, contenidos y pérdidas consecuenciales sean diferentes unos de otros. Para poder aplicar las consideraciones anteriores cuando esto sucede, se procede de la siguiente manera. Sea P la pérdida monetaria bruta que se tiene en una ubicación. P se calcula de la siguiente manera:

(29)

donde E, C y S son las pérdidas brutas (relativas) en edificio, contenidos y consecuenciales, respectivamente, mientras que ME, MC y MS son los valores correspondientes. Supondremos que las tres pérdidas consideradas están completamente correlacionadas. Si dividimos P entre M=ME+MC+MS, obtenemos una nueva variable aleatoria, , que está entre 0 y 1 y cuya esperanza y desviación estándar están dados por:

(30)

(31)

Esta nueva variable (la pérdida bruta agregada de edificio, contenido y consecuenciales) tiene también distribución Beta, con parámetros a y b que pueden calcularse a partir de las dos ecuaciones anteriores. Conforme al inciso 2.3 se supone que E( c)=0.5E( E) y E( S)=E( E).

Se incluirá el efecto de la política de seguro en la pérdida agregada definiendo deducible, límite y coaseguro equivalentes, DQ, LQ y CQ, respectivamente, de la siguiente manera:

(32)

(33)

(34)

donde DE, DC y DS son los deducibles en edificio, contenidos y consecuenciales, LE, LC y LS son los límites correspondientes y CE, CC y CS son los coaseguros de cada uno de los tres tipos de pérdida. Esta solución es rigurosa si se supone que, en el proceso de ajuste de la pérdida, las correspondientes a los tres conceptos primero se agregan y, posteriormente, a la pérdida agregada se le aplican deducible, límite y coaseguro globales.

Entonces, la pérdida neta se obtendrá de aplicar las ecuaciones 18-28 a una distribución de pérdida con los parámetros que se dan en las ecuaciones 30-31.

3.2 Pérdida máxima probable (PML) para una edificación

La pérdida máxima probable, también conocida como PML, es un estimador del tamaño de las pérdidas máximas que sería razonable esperar en una edificación sometida a un proceso estacionario de ocurrencias sísmicas. El PML se utiliza como dato fundamental para determinar el tamaño de las reservas que la compañía de seguros debería mantener.

Idealmente, para determinar el PML de una ubicación debería procederse de la siguiente manera:

Determinar las tasas de excedencia de las pérdidas netas. Esto quiere decir calcular qué tan frecuentemente se excederían ciertos valores de pérdida.

Seleccionar una probabilidad anual de excedencia que, en un sistema simple de seguro, sería igual a la probabilidad de quiebra (la compañía quebraría si no tuviera en reserva una cantidad superior al PML) y adoptar como PML el valor de pérdida asociado a esa probabilidad anual de excedencia.

Para determinar el PML de una sola edificación con el criterio arriba descrito podrían calcularse las tasas de excedencia de la pérdida neta, ?(?N), de la siguiente manera:

(35)

donde, nuevamente, a es la intensidad sísmica relevante, y n (a) es la tasa de excedencia de esta intensidad.

Tratándose de una edificación individual es relativamente fácil el cálculo de ?(?N), puesto que las funciones ?(a) están precalculadas y, dadas la localización y las características estructurales, se tienen todos los elementos para determinar Pr(BN>?N|a).

Sin embargo, tratándose de una cartera completa, el cálculo de ?(bN) por un camino similar al de la ecuación 35 es prácticamente imposible de realizar, porque, en rigor, deberían conocerse las tasas de excedencia conjuntas de las intensidades sísmicas que afectarían a todos los sitios en que se desplantan los inmuebles que forman la cartera.

Existe otra posibilidad, que consiste en calcular, para cada fuente sísmica, la tasa de excedencia de las pérdidas provocadas por la ocurrencia de sismos exclusivamente en esa fuente. Por este camino,

(36)

donde ?i(?N) es la tasa de excedencia de la pérdida neta -en toda la cartera- debida a la i-ésima fuente sísmica y fA|M() es la densidad de probabilidades conjunta de las aceleraciones que afectan a todos los inmuebles de la cartera si en la fuente i ocurre un sismo con magnitud M; la integral con respecto a a debe entenderse, por tanto, como una integral múltiple, de dimensión igual al número de edificios que formen la cartera. La tasa total de excedencia, ?(?N), se calcularía sumando las contribuciones de todas las fuentes sísmicas. Aunque el camino dado por la ecuación anterior es más sencillo, el cálculo riguroso sería sumamente lento y complejo.

En vista de lo anterior, y de que existen diversas maneras de definir el PML, se han adoptado otros criterios. Aquí, definiremos al PML como el valor de pérdida que se excedería con una probabilidad baja, P0, durante la ocurrencia de un sismo poco frecuente. No existen estándares universalmente aceptados sobre qué significa "probabilidad baja" ni sismo "poco frecuente". Sin embargo, un valor típico de PML sería el asociado a 10% de probabilidad de excedencia (P0=0.10) durante un sismo con periodo de retorno de 200 años.

En estas condiciones, el PML se determina considerando únicamente el valor máximo del daño que se excedería con 10% de probabilidad, tomando en cuenta todos los sismos que tienen el periodo de retorno que se ha fijado. El cálculo se realiza de la siguiente manera:

En el inciso siguiente se indica la manera de determinar la distribución de probabilidad de la pérdida en una cartera de ubicaciones.

3.3 Distribución de probabilidad de la pérdida en una cartera de ubicaciones

Como se ha mencionado, dadas unas características estructurales y una intensidad sísmica, estamos en posibilidad de determinar la distribución de probabilidad de la pérdida en un inmueble. Sin embargo, la pérdida total en la cartera es la suma de las pérdidas en múltiples ubicaciones. Se presentan los dos siguientes casos, en que la pérdida depende de las características de la póliza:

Analizaremos por separado cada caso.

3.3.1 Pólizas individuales

Hasta el momento se han dado expresiones para estimar la pérdida en una ubicación. La pérdida en una cartera, sin embargo, es la suma de pérdidas en múltiples ubicaciones, dispersas geográficamente y parcialmente correlacionadas. Sean E( Ni) y VAR( Ni) el valor esperado y la varianza del daño neto, respectivamente, de la i-ésima ubicación -incluyendo contenidos y consecuenciales- sometida al sismo que se origina en cierta fuente sísmica. La pérdida monetaria neta en toda la cartera, PN, tendrá las siguientes propiedades:¡Error!No se encuentra el origen de la referencia.

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donde ?ij es el coeficiente de correlación entre las pérdidas i y j, Nu es el número de ubicaciones y Mi es el valor (retenido) de la ubicación i. La distribución de probabilidades de PN es sumamente difícil de calcular rigurosamente -recuérdese que las pérdidas están correlacionadas-, aunque, si Nu es grande, tiende a ser normal.

No es posible, con bases puramente empíricas, establecer valores para los coeficientes de correlación. Se ha adoptado en esta nota técnica un valor de 0.3, independientemente de tipo estructural y localización de la ubicación. Se adoptó este valor porque, después de simulaciones y análisis de sensibilidad, se observó que el incremento en la varianza de PN no era excesivo cuando ?ij=0.3 y que, por otro lado, el premio que se tenía por efecto de tener una gran cartera era notable pero no demasiado grande.

Se supone que la cantidad ?N=PN/M, siendo M la suma de montos de todas las ubicaciones, tiene también distribución Beta con los siguientes momentos estadísticos:

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De acuerdo con lo señalado en el inciso 3.3, una vez que se han calculado los parámetros de la distribución del daño en la cartera para cada fuente sísmica, se escoge el que tiene un valor esperado mayor y, a partir de su distribución de probabilidad, se calcula el valor correspondiente a un diez por ciento de probabilidad de excedencia. Esta pérdida es lo que llamaremos la pérdida máxima probable o PML de la cartera.

En el análisis se ignora la posibilidad de que la pérdida sea nula, aun cuando existan deducibles, en vista de que es sumamente improbable que durante un sismo muy intenso que afecta a una cartera con numerosas ubicaciones, las pérdidas individuales en todas y cada una de ellas estén por debajo del deducible.

3.3.2 Pólizas colectivas

El cálculo de la pérdida en las llamadas pólizas colectivas es similar al que se realiza para pólizas individuales, aunque difiere el orden en que se aplican deducible y límite. Inicialmente se calculan los momentos estadísticos de la distribución de la pérdida bruta (a diferencia de lo que se hacía en el punto anterior, en que los momentos correspondían a la pérdida neta). Una vez obtenidos estos parámetros, y suponiendo que se trata de una distribución Beta nuevamente, se aplica el efecto de deducible y límite como se indicó en el inciso 3.1.

Puede observarse que la diferencia entre pólizas individuales y pólizas colectivas es que, en las primeras, deducible y límite se aplican ubicación por ubicación, mientras que en las segundas deducible y límite se aplican a la pérdida bruta total, construida como la suma de pérdidas en cada ubicación.

SEGUNDA.- Tratándose de riesgos cuyas características especiales no correspondan a las señaladas en la Disposición Primera y por lo cual no puedan ser integrados para el cálculo de la Pérdida Máxima Probable conforme a las presentes bases técnicas, deberán valuarse en forma adicional e independiente calculando la Pérdida Máxima Probable como el 9% de las sumas aseguradas retenidas.

TERCERA.- La información estadística que se utilizará para el cálculo de la Pérdida Máxima Probable, será la misma que se utilizará para el cálculo de la reserva de riesgos en curso de los seguros de terremoto, la cual fue definida en la Circular S-10.1.4 del 11 de marzo de 1999, publicada en el Diario Oficial de la Federación el 24 de marzo de 1999.

CUARTA.- El cálculo de la Pérdida Máxima Probable deberá realizarse mensualmente conforme a las pólizas en vigor al momento de la valuación y reportarse en la forma y términos que para tales efectos dé a conocer esta Comisión.

La presente Circular entrará en vigor al día siguiente de su publicación en el Diario Oficial de la Federación.

Lo anterior se hace de su conocimiento con fundamento en el artículo 108 fracción IV de la Ley General de Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros, y de conformidad con el Acuerdo por el que la Junta de Gobierno de la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas delega en el presidente, la facultad de emitir las disposiciones necesarias para el ejercicio de las facultades que la ley le otorga a dicha Comisión y para el eficaz cumplimiento de la misma y de las reglas y reglamentos, emitido el 2 de diciembre de 1998 y publicado en el Diario Oficial de la Federación el 4 de enero de 1999.

Atentamente

Sufragio Efectivo. No Reelección.

México, D.F., a 2 de febrero de 2000.- El Presidente de la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas, Manuel S. Aguilera Verduzco.- Rúbrica.